lunes, 23 de noviembre de 2015

SEMANA 40

NOVIEMBRE 16 AL 20

Se realizan nivelaciones con los estudiantes que tienen logros pendientes en el área.
El día viernes 20 se realiza una actividad lúdica de celebración de la navidad a nivel institucional, donde todos los grupos hacen su representación navideña.

domingo, 25 de octubre de 2015

SEMANA 37

OCTUBRE 26 AL 30


Suma y diferencia de cubos-----Diferencia de cuadrados





Diferencia de cuadrados.

Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta y sus términos tienen distinto signo.
Al estudiar los productos notables teníamos que:
Diferencia de cuadrados
En donde el resultado es una diferencia de cuadrados, para este capítulo es el caso contrario:
Diferencia de cuadrados
SE FACTORIZA: 
Donde siempre la diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de las raíces.
Pasos:
  1. Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos.
  1. Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el segundo termino del binomio negativo es la raíz del termino del binomio que es negativo).
EJEMPLO 1: (Fácil)

x2 - 9 = (x + 3).(x - 3)

x     3

Los dos términos son cuadrados. Las "bases" son x y 3. Se factoriza multiplicando la "suma de las bases" por la "resta de las bases".


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1 





EJEMPLO 2: (Con dos letras)

x2 - y2 = (x + y).(x - y)

x     y

Las dos bases son letras


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2





EJEMPLO 3: (Con el "1")

b2 - 1 = (b + 1).(b - 1)

b     1

No hay que olvidar que el número 1 es un cuadrado.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3





EJEMPLO 4: (Con fracciones)

x2 - 9/25 = (x + 3/5).(x - 3/5)

x      3/5

9/25 es cuadrado. Porque 9 es cuadrado (de 3), y 25 también (de 5)


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4





EJEMPLO 5: (Con potencias distintas de 2)

x6 - 4 = (x3 + 2).(x3 - 2)

x3   2

x6 es también un cuadrado, es el cuadrado de x3. Ya que (x3)2 es igual a x6


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5





EJEMPLO 6: (Con términos "compuestos")

36x2 - a6b4 = (6x + a3b2).(6x - a3b2

6x       a3b2

Los términos pueden estar compuestos por varios factores, y no una sola letra o número. Pero todos deben ser cuadrados.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6





EJEMPLO 7: (Con números decimales)

x2 - 0,16 = (x + 0,4).(x - 0,4)

x     0,4

También se puede hacer pasando los números decimales a fracción (Ver en la EXPLICACIÓN)


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 7





EJEMPLO 8: (Con la resta "al revés")

-x2 + 4 = 4 - x2 = (2 + x).(2 - x)

x       2

El primer término es negativo y el segundo es positivo. Pero puedo escribirlos "al revés", y ahí tengo la resta que necesito.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 8





EJEMPLO 9: (Uno "con todo")

4/25 x6a2 - 0,01 b4y10 = (2/5 x3a + 0,1 b2y5).(2/5 x3a - 0,1 b2y5)


2/5 x3a       0,1 b2y5



SUMA DE CUBOS

Se identifica porque los dos términos tienen igual signo y a cada uno se le puede extraer raíz cúbica exacta.

SE FACTORIZA:
1. Un binomio por un trinomio.
2. El binomio: Está formado por la suma de las raíces cúbicas de los términos.
3. El trinomio: Está formado por el cuadrado de la primera raíz, menos el producto de la primera por la segunda raíz, más el cuadrado de la segunda raíz.

a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)
8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)
DIFERENCA DE CUBOS
SE FACTORIZA: 
1. Un binomio por un trinomio.
2. El binomio: Formada por la diferencia de las raíces cúbicas de los términos.
3. El trinomio: es igual al cuadrado de la primera raíz,más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.
Ejemplos: 
a3 – b= (a – b) (a+ ab + b2)

domingo, 18 de octubre de 2015

SEMANA 36

OCTUBRE 19 A 23

Octubre 12 Festivo ( lunes)

En 8º a----lunes y jueves
Lunes (festivo)  y jueves (actividad por la semana de la convivencia)
1º hora: Actividad de integración lúdica en el patio cubierto.
2º hora:Actividad lúdica y de competencia, resaltando la necesidad de integración, la autonomía, la cooperación---en el aula de clase.

En 8º B-----miércoles y viernes

Miércoles:
Repaso de productos y cocientes notables, evaluación de cocientes notables.
Inicio del tema: Factor común.
Viernes: Continuación de factor común y taller de aplicación.





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domingo, 11 de octubre de 2015

SEMANA 35

 OCTUBRE 12 AL 16

SEMANA DE LA CONVIVENCIA



Evaluación de cocientes notables en 8º a
Factorización y casos:
1. Factor común:

  • Numérico
  • Numérico literal.
¿Por qué se llama "Factor común"? 

Por que en general el Caso se aplica cuando en todos los términos hay un "factor común".


¿Pero qué es un "factor común"?

Es "algo" (número, letras, una "expresión algebraica") que está multiplicando en todos los términos. Tiene que estar en todos los términos, por eso es "común" (común a todos). Y recordemos además que, en una multiplicación, se les llama "factores" a los números que están multiplicándose. De ahí vienen las dos palabras: "factor" y "común".

Por ejemplo, en 2.a + 2.b + 2.c, está el factor común "2"; porque en todos los términos está multiplicando el número 2. En 5a + 7a + 4a, está el factor común "a"; porque en todos los términos está multiplicando la letra "a".

Pero no siempre es tan fácil identificar al factor común como en esos dos ejemplos, ya que en los términos puede haber números diferentes o letras con distinto exponente, y el factor común puede estar "oculto" entre ellos. En los ejercicios resueltos de esta misma página presento una variedad de situaciones en donde hay factor común, y explico cómo identificarlo. Y para más detalle se puede entrar en los enlaces de explicación de cada ejemplo.


¿Una vez que identifico al "factor común", qué hago para "sacarlo"?

Divido a todos los términos por ese factor. La división entre números ya la conocemos. La división entre letras iguales (potencias de igual base) se hace restando los exponentes. "Los números se dividen con los números", "las letras con las letras iguales". Por ejemplo:

4a - 8b + 6c =  

Allí el factor común es 2, entonces divido todos los términos por 2.

El resultado de esa división es:

2a - 4b + 3c

(Se aplica la Propiedad distributiva de la división respecto de la suma y la resta. Más detalle sobre el procedimiento en: EXPLICACIÓN
 DEL EJEMPLO 1)


¿Hay una regla para encontrar factor común entre los números, si no puedo descubrirlo intuitivamente?

Sí. Sobre todo cuando son números grandes, nos conviene saber que el factor común que nos piden sacar entre ellos es el conocido MÁXIMO COMÚN DIVISOR o DIVISOR COMÚN MAYOR (MCD o DCM). Es el mayor número por el cual podamos dividir a todos los términos.


¿Y cómo saco factor común entre las letras?

Y cuando una o más letras están en todos los términos, son factor común, y hay que sacarlas con el menor exponente con que aparecen (¿por qué?). Por ejemplo:
7x2 + 11x3 - 4x5 + 3x4  - x8 = 

En todos los términos está la "x". La "x" es factor común y hay que sacarla con exponente 2, porque es el menor exponente con el que aparece en el polinomio. El factor común común es: x2.
7x2 + 11x3 - 4x5 + 3x4  - x8 = x2. (7 + 11x - 4x3 + 3x2 - x6)
Para dividir a las letras de los términos por las del factor común, hay que restar los exponentes, porque es división entre potencias de igual base (Propiedades de las potencias de igual base). Por ejemplo:

x5:x2 = x5-2 = x3

FACTOR COMÚN / EJERCICIOS RESUELTOS


EJEMPLO 1: (Hay factor común entre los números)

8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d)


El factor común es el número 4: El Máximo Común Divisor entre los números.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1 





EJEMPLO 2: (Hay factor común entre las letras)

7x2 + 11x3 - 4x5 + 3x4  - x8 = x2. (7 + 11x - 4x3 + 3x2 - x6)


El factor común es x2.: La x elevada a la menor potencia con que aparece.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2





EJEMPLO 3: (Hay factor común entre los números y entre las letras)

9x3 - 6x2 + 12x5 - 18x7 = 3x2. (3x - 2 + 4x3 - 6x5)


El factor común es 3x2: El MCD entre los números y la x elevada a la menor potencia.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3





EJEMPLO 4: (Con fracciones)

4/3 x - 8/9 x3 + 16/15 x7 - 2/3 x5 = 2/3 x. (2 - 4/3 x2 + 8/5 x6 - x4)


El factor común es 2/3 x: El MCD del numerador sobre el MCD del denominador, y la x a la menor potencia.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4




EJEMPLO 5: (Con varias letras diferentes)

9x2ab - 3xa2b3 + x2az = xa. (9xb - 3ab2 + xz)


El factor común es xa. Las 2 letras que están en todos los términos, con la menor potencia con la que aparecen.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5





EJEMPLO 6: (Con números grandes)

36x4 - 48x6 - 72x3 + 60x5 = 12x3. (3x - 16x3 - 6 + 5x2)

domingo, 27 de septiembre de 2015

SEMANA 34

SEPTIEMBRE 28 AL 2 DE OCTUBRE

TALLERES DE PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES.
EVALUACIONES DE NIVELACIÓN DEL TERCER PERÍODO.
EVALUACIÓN DE COCIENTES Y PRODUCTOS NOTABLES.

TALLER LUNES 28  ---- 8º A

domingo, 20 de septiembre de 2015

SEMANA DE RECESO ESCOLAR

SEPTIEMBRE 21 AL 25


SEMANA 33

SEPTIEMBRE 21 AL 25
COCIENTES NOTABLES.

COCIENTES NOTABLES
Los cocientes notables resultan de divisiones exactas entre polinomios que presentan regularidades y permiten obtener EL RESULTADO SIN EFECTUAR LA DIVISION INDICADA.


1. CUADRADOS:

A. Cociente de la diferencia de el cuadrado de dos cantidades entre la suma de estas cantidades.

Cocientes notables (cuadrados)
El cociente de la diferencia del cuadrado de dos cantidades entre la suma de estas cantidades es igual a la diferencia de estas cantidades.
Ejemplos:
Cocientes notables (cuadrados)
B. Cociente de la diferencia de el cuadrado de dos cantidades entre la diferencia de estas cantidades.

Cociente de la diferencia de el cuadrado
 El cociente de la diferencia del cuadrado de dos cantidades entre
la diferencia de estas cantidades es igual a la suma de estas cantidades.
Ejemplos:
Cociente de la diferencia de el cuadrado
2. CUBOS:


A. Cociente de la suma de el cubo de dos cantidades entre la suma de estas cantidades.

Cocientes notables (cubos)
 El cociente de la suma del cubo de dos cantidades dividida entre la suma de estas cantidades es igual al cuadrado de la primera menos el producto de estas, más el cuadrado de la segunda( DE LOS DENOMINADORES).
Ejemplos:
Cocientes notables (cubos)
B. Cociente de la diferencia de el cubo de dos cantidades entre la diferencia de estas cantidades.

Cocientes notables (cubos)
 El cociente de la diferencia del cubo de dos cantidades dividida 
entre la diferencia de estas cantidades es igual al cuadrado de la 
primera más el producto de estas, más el cuadrado de la segunda ( DE LOS DENOMINADORES).
Ejemplos:
Cocientes notables (cubos)

domingo, 13 de septiembre de 2015

SEMANA 32


SEPTIEMBRE 14 AL 18

BINOMIO DE NEWTON Y TALLER APLICATIVO AL BINOMIO.


La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio de Newton.
Podemos observar que:
El número de términos es n+1.
Los coeficientes son números combinatorios que corresponden a la fila enésima del triángulo de Tartaglia.
triángulo de Tartaglia
En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo, de uno en uno, de n a cero; y los exponentes de b van aumentando, de uno en uno, de cero a n, de tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada término es igual a n.
En el caso que uno de los términos del binomio sea negativo, se alternan los signos positivos y negativos.

Ejercicios del binomio de Newton

1. binomio
binomio
binomio
2.binomio
binomio
binomio


domingo, 6 de septiembre de 2015

SEMANA 31

 SEPTIEMBRE 7 A 11


TALLER APLICANDO EL TRIÁNGULO DE PASCAL

TALLER APLICANDO TODOS LOS CASOS DE PRODUCTOS NOTABLES.

domingo, 30 de agosto de 2015

SEMANA 30

AGOSTO 31 A SEPTIEMBRE 4

Taller aplicando algunos casos de productos notables.

Consulta: quién era Blaise Pascal y qué aporte  dió a las matemáticas?

TRIÁNGULO DE PASCAL

 En matemática, el triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular. Es llamado así en honor al matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su Traité du triangle arithmétique. Si bien las propiedades y aplicaciones del triángulo fueron conocidas con anterioridad al tratado de Pascal por matemáticos indios, chinos o persas, fue Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la información de manera conjunta.
En el Traité du triangle arithmétique (Tratado del triángulo aritmético) publicado en 1654, Blaise Pascal reúne varios resultados ya conocidos sobre el triángulo, y los emplea para resolver problemas ligados a la teoría de la probabilidad; demuestra 19 de sus propiedades, deducidas en parte de la definición combinatoria de los coeficientes. Algunas de estas propiedades eran ya conocidas y admitidas, pero sin demostración.


TRIANGULO DE PASCAL

EL TRIANGULO DE PASCAL ME PERMITE DESARROLLAR UN BINOMIO A LA POTENCIA DESEADA, EMPLEANDO SUS NÚMEROS COMO LOS COEFICIENTES, Y RECORDANDO QUE EL PRIMER TERMINO DISMINUYE SU POTENCIA Y EL SEGUNDO TERMINO LA AUMENTA




Construcción del triángulo de Pascal

El triángulo de Pascal se construye de la siguiente manera: se comienza en el número «1» centrado en la parte superior; después se escriben una serie de números en las casillas situadas en sentido diagonal descendente, a ambos lados, del siguiente modo: se suman las parejas de cifras situadas horizontalmente (1 + 1), y el resultado (2) se escribe debajo de dichas casillas; el proceso continúa escribiendo en las casillas inferiores la suma de las dos cifras situadas sobre ellas (1 + 2 = 3), etc. De manera general, esto se cumple así debido a la regla de Pascal, que indica que \scriptstyle {n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k} para todo entero positivo n y todo entero positivo k entre 0 y n. En la ilustración, en la última fila, la cifra 4 cuyas casillas situadas sobre ella corresponden a las cifras 1 y 3, se cumple que \scriptstyle {4 \choose 1} = {3 \choose 0} + {3 \choose 1}, para la cifra 6 se cumple \scriptstyle {4 \choose 2} = {3 \choose 1} + {3 \choose 2} y para la última cifra 4 \scriptstyle {4 \choose 3} = {3 \choose 2} + {3 \choose 3}; de igual manera, se cumple propiedad para las demás filas.

Cada número en el triángulo es la suma de los dos que están situados por encima de el.

domingo, 23 de agosto de 2015

SEMANA 29

AGOSTO 24 AL 28

PRUEBA DE FINAL DE PERÍODO DE GEOMETRÍA Y ÁLGEBRA

TODOS LOS TALLERES DEBEN ESTAR DEBIDAMENTE SOLUCIONADOS CON PROCEDIMIENTOS, Y, LOS CUADERNOS SERÁN ENTREGADOS EL MISMO DÍA QUE SE REALICE EL EXÁMEN DE FINAL DE PERÍODO (QUE TIENE UN VALOR DE 30%)


TODOS LOS ESTUDIANTES DEBEN LLEVAR A CADA CLASE: REGLA, TRANSPORTADOR, COMPÁS, LÁPIZ Y BORRADOR. OBLIGATORIO COMO IMPLEMENTO DE ESTUDIO.

LOS ESTUDIANTES QUE AÚN NO HAN PRESENTADO EXÁMEN DE SUSTENTACIÓN DE REFUERZO DEL SEGUNDO PERÍODO, DEBEN HACERLO EN LA SEMANA 30 ( DEL 31 DE AGOSTO AL 30 DE SEPTIEMBRE), EN HORARIO DE CLASE.

TALLERES REALIZADOS DE GEOMETRÍA Y ESTADÍSTICA EN EL PERÍODO TRES

GEOMETRÍA:

ACTIVIDAD Nº 1
CONSULTA.

1.¿Qué es una figura geométrica?.dar ejemplos gráficos.
2. Qué es un cuerpo geométrico?dar ejemplos gráficos.
3. escribir la historia,, definición y clasificación de los cuerpos geométricos platónicos. dar representación gráfica.
4. Escribir la historia, clasificación de los cuerpos geométricos Arquimedianos dar representación gráfica.
5. Definir, clasificar y dibujar los cuerpos geométricos redondos.
6. Qué es un polígono y cómo se clasifican de acuerdo al número de lados?Grafíquelos.
7.Qué es un ángulo? Cómo se nombran los ángulos?
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ACTIVIDAD Nº 2
CONSULTA Nº 2
1. Cuáles son los elementos de un polígono?Defina cada elemento y haga representación gráfica.
2. ¿cómo se clasifican los ángulos según su abertura?Defínalos y grafíquelos.
3. Cómo se clasifican los ángulos según la suma de sus ángulos?Defina cada uno y haga representación gráfica.
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ACTIVIDAD  Nº 3

RESÚMEN

  • De la fotocopia entregada en clase, definir:
  • Qué es un triángulo ( graficar ).
  • Propiedades de los triángulos.
  • Tipos de triángulos según sus lados y según la medida de sus ángulos( graficar cada uno de ellos).
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ACTIVIDAD Nº 4
CONSULTA Nº 3

1. ¿Qué es un polígono cóncavo?--Grafíque y observe el video
2. ¿ Qué es un polígono convexo?---Grafique y vea el video
3. ¿ Qué es un polígono regular?----Grafique y vea el video
4. ¿ Qué es un polígono irregular? ---Grafique y observe el video

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ESTADÍSTICA

ACTIVIDAD Nº 1

1. Escriba 5 ejemplos de estudios estadísticos que podrían realizarse.
2. Dadas las siguientes variables, identifique las variables discretas y las continuas. Explique su respuesta.
a. Número de hijos de una familia
b. Estatura de los profesores de la Institución educativa José celestino Mutis.
c. Cantidad de dinero que puede gastarse una persona en un paseo.
d. Goles que se pueden anotar en un partido.
e. Nota que sacan los estudiantes en determinada materia.
f. Sueldos ganados por los padres de familia de los estudiantes de la Mutis, en un mes.
g. Cantidad de asignaturas que se estudian en el grado octavo.
h. Número de alumnos que asistieron un día a clases.
i. Número de kilómetros que recorre un auto en un día.
j. Número de diagonales que se le pueden trazar a un hexágono.

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ACTIVIDAD Nº 2
Estadística

Ir al blog de matemáticas grado octavo y hacer:
1.  Un resúmen completo claro acerca de "la historia de la estadística"
2. Mapa mental que resuma la historia de la estadística.

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ACTIVIDAD Nº 3
Estadística

Hallar la media aritmética, la mediana y la moda de cada uno de los siguientes conjuntos de datos:
1.)  6,6,5,4,3,2,8.
2.)  12, 20, 18, 15, 18, 19.
3.)  5, 10, 14, 30, 12.
4.)  3,2,3,3,5,4.
5.)  20,15,18,40,13,8.
6.)  8,9,6,7,4,5,1,11.
7.)  3,7---3,8---4,0---5,7---6,9---7,0
8.)30, 20, 30, 30, 20, 15, 17, 19, 18.
9.)  6,8,6,11,7,7,5.
10.)  4,4,7,7,7,5,6,9,9,8,10,10,11.
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ACTIVIDAD Nº 4
ESTADÍSTICA

1. Hallar la media aritmética, la mediana( Me ) y la moda ( Mo ) de cada uno de los siguientes grupos de datos:
A) 6,6,5,4,3,2,8               F) 8,9,7,6,4,5,1,1,1
B) 12,20,18,15,18,19      G) 3,7--3,8--4,0--5,7--6,9--7,0
C) 5,10,14,30,12             H) 30,20,30,30,20,15,17,19,18
D) 3,2,3,35,4                    I) 6,8,6,11,7,7,5
E) 20,15,18,40,13,8         J) 4,4,7,7,7,5,6,9,9,8,10,10,11

2. Haga una encuesta en su grupo sobre cuál de los equipos de fútbol es el preferido: nacional, Medellín, millonarios, Junior, América, santa Fé.
A) Elabore la tabla de frecuencias.
B) Cuál es la frecuencia absoluta para Nacional?
C) Cuál es la frecuencia absoluta para millonarios?
D) Cuál es el equipo de menor frecuencia?
3. Ordene los siguientes datos: 6,7,6,8,9,10,8,118,12,6,810,11,9,8,7,7,6,6,10,12,11,12,13,13,13,10,9,8,10,11,7,6,8 en una tabla de dos columnas y responda:
a) Cuál es la moda?
b) cuál es el valor de f 1?
c) Cuál es el valor de f 3?
d) Cuál es el valor de f 4?
e) Cuáles son los datos que menos se repiten?
f) Cuánto suman las frecuencias'
4. Los siguientes son los datos de las calificaciones de los alumnos de 8º en matemáticas:

3,7    4,5   3,7   5,0   4,5   3,6
3,8   4,9   3,8   5,0   3,8    2,1
3,7   5,0   3,9   2,5   4,9   2,5
3,9   2,5   3,9   2,3   5,0   5,0
5,0   2,3   4,5   2,8   3,6   3,6

ACTIVIDAD Nº 5
ESTADÍSTICA (TALLER)

1. Los siguientes son los datos correspondientes a la venta de docenas de jeans vendidos por un almacén durante una semana:

a) Calcule el promedio de docenas vendidas en la semana.
b) calcule el valor de la media de las docenas de jeans.
c) hallar el rango de frecuencia absoluta acumulada, frecuencia relativa y frecuencia relativa acumulada.(tabla anterior)

2. la lista de las edades de algunos profesores de la ciudad de Medellín, es la siguiente:
20,25,32,40,43,31,19,48,56,20, 28,43,40,36,25,28,30,28,45,28,36,42,50,41,28,41
a) Ordenar datos
b) Total de datos
c) Elabore tabla de frecuencias completa ( deben aparecer procedimientos aparte)
d) Cuál es la moda?
e) Halle media aritmética
f) Halle la mediana.
g) Encuentre el rango.


DEBEN ENTREGAR TRABAJOS DE ESTADÍSTICA,

CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES

Es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble de la primera cantidad por la segunda cantidad, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Ejemplo:
(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2
(x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9

Ver video 

CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES

Es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble producto de la primera cantidad por la segunda cantidad, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Ejemplo:
(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2
(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9


 ver video

  

CUBO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES


es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.
(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3
(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 3+ 33 =
= x 3 + 9x2 + 27x + 27




CUBO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES
Es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.
(a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3
(2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 3=
= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27