domingo, 22 de febrero de 2015

SEMANA SIETE

FEBRERO 23 AL 27

 LUNES 23
Terminar  el taller nº 9 en clase.
Asignación del taller nº 10 
Se evaluará en la segunda clase de la semana y deben llevar para comprar la fotocopia.

 TALLER Nº   10 

 Operaciones con números racionales
Calcula las siguientes operaciones con números racionales
(haga todos los procedimientos):
1 
2 
3 
4 
 5.
 6.

7. operaciones

8. 
9.
10. operaciones



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domingo, 15 de febrero de 2015

SEMANA SEIS


FEBRERO 16 AL 20

 8A Y 8B

 Evaluación escrita de suma, resta, multiplicación y división de enteros, polinomios.( Lunes para octavo B y miércoles para octavo A.
Llevar calculadora para la segunda clase de la semana.
REPRESENTACIÓN DECIMAL DE LOS NÚMEROS RACIONALES.

Todo número racional se puede expresar como número decimal.
Para lograrlo, se efectúa la operación de división del numerador entre el denominador. Después de hacerlo puede resultar que se obtenga como resultado: 
1. Una expresión decimal exacta.
2. Una expresión decimal periódica pura.
3. Una expresión decimal periódica mixta.

  • Expresión decimal exacta: Si tiene un número finito de cifras decimales.
Por ejemplo: 
a) \cfrac{7}{16}=0,4375
b) 7, 0356  P.E ( parte entera) = 7
                  C.F. ( cantidad de factores) = 4 --------es un decimal                                                                                        exacto o finito.
c) 1253,0  P.E = 1253
                 C.F.=1  ------es un decimal exacto o finito.
EJEMPLOS: 
Convertir los siguientes racionales a decimales exactos o finitos:
a) 307/ 125 = 2, 456   P.E =2    C.F= 3
b) 2576 / 100 = 25,76   P.E= 25    C.F= 2
c) 2397 / 32 = 74,90625    P.E= 74   C.F= 5

  NOTA: Cuando el dividendo es más pequeño que el divisor, se le agregan tantos ceros al dividendo para que quede mayor que el divisor.
Se efectúa la división normalmente y luego el resultado se divide por la potencia de diez que tiene tantos ceros como los agregados al divisor. Ejms:

A)   3 / 250  entonces al 3 le agregamos dos ceros y dividimos normalmente. Así queda: 
300  / 250 = 1,2    P.E= 1      C.F= 1

B)  1,2 / 100 = 0,012  P.E= 0    C.F= 3

C) 9/16 = 0,5625   P.E= 0      C.F= 4
EXPRESIONES DECIMALES EXACTAS A NÚMERO RACIONAL

Para convertir un número decimal exacto a fracción, escribimos el mismo número sin la coma en el numerador, y, como denominador escribimos el número uno, seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga el número dado. Ejemplos:
Observe el video.

Ejemplos: 
Convertir los siguientes números decimales ( exactos) a racionales:
a) 2,0356= 20356/ 10000= 10178/ 5000= 5089/2500

b) 0, 0075= 75/ 10000 = 15/2000= 3/400

c) 0,156= 156/1000= 78/500=39/250

Expresión decimal periódica pura: Son números decimales que tienen después de la coma decimal uno o varios números que se repiten en forma sucesiva. El número o números que se repiten después de la coma decimal, se llama periodo.
Por ejemplo: 
 \cfrac{6}{11}=0,545454...=0,\widehat{54}. El periodo es 54.

Expresión decimal periódica mixta: Si tiene un número infinito de decimales que se repiten a partir de una cierta posición decimal. La parte que se repite se llama periodo y la parte decimal previa al periodo se llama anteperíodo.
Por ejemplo: \cfrac{4}{15}=0,266666...=0,2\widehat{6}. El periodo es 6 y el anteperiodo 2.


Se puede saber, sin hacer la división, que tipo de expresión decimal tiene una fracción. Para ello, deberemos simplificar la fracción y nos fijaremos en la descomposición del denominador en factores primos. Tendremos los siguientes casos:

Identificar el tipo de expresión decimal sin hacer la división

  • Si el denominador sólo contiene factores que sean 2 ó 5, la fracción tiene una expresión decimal exacta.




Que diferencias hay entre la expresión 

decimal periódica pura y la expresión 

decimal perdiódica mixta?


 Una expresión decimal periódica pura es aquella cuyas cifras decimales

son todas periódicas 0,33333.......

1,23232323.....

3,345345345....

Para transformar una expresión decimal periódica pura Se pone en el 

numerador el número sin coma y se le resta la parte no periódica;

en el denominador tantos nueves como cifras periódicas tenga

0,77777.... = 7/9

2,8888...... = (28-2) /9 = 26/9

1,595959... = (159-1)/99 = 158/99

3,497497497... = (1497-3)/999 = 1494/999


Una expresión decimal periódica mixta es aquella cuyas cifras decimales

 son algunas periódicas y otras no. Así: 

0,67777777.....

3,7845454545....

2,30963963963.....

Para transformar una expresion decimal mixta se pone en el numerador

el número entero sin coma

Se le resta la parte no periódica;

En el denominador tantos nueves como cifras periódicas tenga y tantos 

ceros como cifras no periódicas. Así:

0,57777.. = (57 - 5) /90 = 52/90

0,4676767... = (467- 4) / 990 = 463 /990

0,95737373... = (9573 - 95) / 9900 = 9878 / 9900

5, 07383838... = (50738 - 507) / 9900 = 50231 / 9900



             TALLER Nº 9
    1. Convertir los siguientes racionales a decimales: 
     a) 12788/ 125
     b) 174/50
     c) 354/ 100000
     d) 2/25                                                  












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domingo, 8 de febrero de 2015

SEMANA cinco

FEBRERO 9 AL 13


TALLER Nº 8

 Efectúe las siguiente operaciones con racionales:


Representación de números decimales

Los números decimales los podemos representar en la recta real de la siguiente manera:
Imagen:rep_decimales.jpg










El punto rojo representa el número 3,85...


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domingo, 1 de febrero de 2015

SEMANA CUATRO.

FEBRERO 2 AL 6
Lunes 8B
Miércoles 8A
Jueves 8A y 8B


 NÚMEROS RACIONALES "Q"

b Número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros, más precisamente, un entero y un natural positivo, es decir, una fracción común a/b ; donde a se llama numerador y b se llama denominador, pero b es   distinto de cero. 
 El conjunto de los números racionales se denota por "Q ".
La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien periódico.
En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada.

 2,5 = \frac{25}{10} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}






PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS RACIONALES.
1.  El conjunto de los números racionales tienen infinita cantidad de elementos.
2. No tiene un primer ni un último elemento.
3. Entre dos números racionales, existe cantidad infinita de números racionales.
4. Ningún número racional tiene sucesor, ni antecesor.
5. Los números racionales no completan la recta numérica.
6. A todo número racional se le puede hacer corresponder un punto de la recta, pero no necesariamente todo punto de la recta corresponde a un número racional.
7. Se cumple que                                                


Opuesto de un número racional


Para cada número racional $n$, existe otro número racional que llamaremos opuesto de $n$ y lo denotaremos por $-n$.
Ejemplo:
  1. El opuesto de $\displaystyle \frac{7}{3}$ es $\displaystyle \frac{-7}{3}$.
  2. El opuesto de $\displaystyle \frac{11}{5}$ es $\displaystyle \frac{-11}{5}$.
  3. El opuesto de $\displaystyle \frac{-19}{3}$ es $\displaystyle -\left(\frac{-19}{3}\right)$.
  4. El opuesto de $\displaystyle \frac{-21}{4}$ es $\displaystyle -\left(\frac{-21}{4}\right)$.
  5. El opuesto de $\displaystyle 3,28$ es $\displaystyle -3,28$.
  6. El opuesto de $\displaystyle -6,35$ es $\displaystyle -(-6,35)$.
Observación:
  1. El número racional $n$ y su opuesto $-n$ se representan en la recta numérica a la misma distancia de cero, en sentidos opuestos.
  2. Si $n$ es un números racional entonces se cumple que $-(-n)=n$Así
    $\displaystyle -\left(\frac{-21}{4}\right)=\frac{21}{4}$
    $\displaystyle -\left(\frac{-19}{3}\right)=\frac{19}{3}$
    $\displaystyle -(-6,35)=6,35$
Nota:
Dada la última observación se deduce que un número racional y su opuesto tienen "signo contrario". Por ejemplo:
  1. El opuesto de $\displaystyle \frac{1}{5}$ es $\displaystyle \frac{-1}{5}$.
  2. El opuesto de $\displaystyle \frac{-17}{4}$ es $\displaystyle \frac{17}{4}$.
  3. El opuesto de $4,15$ es $-4,15$.
  4. El opuesto de $-8,21$ es $8,21$.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE NÚMEROS RACIONALES.
El conjunto de números racionales "Q", se pueden representar en la recta numérica de tal manera que la recta se vaya haciendo más completa.

Si se divide en dos partes iguales cada segmento unidad en la recta numérica, podemos representar los números racionales cuya representación fraccionaria tiene como denominador 2, como se muestra en el ejemplo siguiente:

Ejemplo
Represente en la recta numérica los siguientes números racionales:
  1. $\displaystyle \frac{3}{2}$
  1. $\displaystyle \frac{7}{2}$
  1. $\displaystyle \frac{-1}{2}$
  1. $\displaystyle \frac{-5}{2}$
Solución:


Si se dividen en tres partes iguales cada segmento unidad en la recta, podemos representar los números racionales cuya representación fraccionaria tiene como denominador 3, como se muestra en el ejemplo siguiente:

Ejemplo
Represente en la recta numérica los siguientes números racionales:
  1. $\displaystyle \frac{3}{2}$
  1. $\displaystyle \frac{7}{2}$
  1. $\displaystyle \frac{-1}{2}$
  1. $\displaystyle \frac{-5}{2}$
Solución:

De igual manera, si se dividen en tres partes iguales cada segmento unidad en la recta, podemos representar los números racionales cuya representación fraccionaria tiene como denominador 3, como se muestra en el ejemplo siguiente:

Ejemplo
Represente en la recta numérica los siguientes números racionales:
  1. $\displaystyle \frac{4}{3}$
  1. $\displaystyle \frac{8}{3}$
  1. $\displaystyle \frac{-2}{3}$
  1. $\displaystyle \frac{-7}{3}$
Solución:

Generalizando el procedimiento descrito anteriormente se puede representar cualquier número racional en la recta numérica.

Nota: También se pueden representar los números racionales en la recta numérica, considerando su expansión decimal y ubicándolos en forma aproximada en la recta numérica, como se muestra en el ejemplo siguiente.
Ejemplo
Represente en una recta numérica los siguientes números racionales.
  1. $\displaystyle \frac{7}{9}$
  1. $\displaystyle \frac{34}{15}$
  1. $\displaystyle \frac{-9}{7}$
  1. $\displaystyle \frac{-17}{5}$
Solución
Utilizando la calculadora se puede notar que:
  1. $\displaystyle \frac{7}{9}=0,\overline{7}$
  2. $\displaystyle \frac{34}{15}=2,2\overline{6}$
  1. $\displaystyle \frac{-9}{7}=-1,\overline{285714}$
  2. $\displaystyle \frac{-17}{5}=-3,4$
De esta manera


El número racional $n$ y su opuesto $-n$ se representan en la recta numérica a la misma distancia de cero, en sentidos opuestos.



Como conclusión, un número racional y su opuesto tienen "signo contrario".

TALLER Nº 6

  1. Represente en una recta numérica los siguientes números racionales.

      1. $\displaystyle \frac{2}{3}$
      1. $\displaystyle \frac{8}{5}$
      1. $\displaystyle \frac{-5}{2}$
      1. $\displaystyle \frac{7}{4}$


      1. $\displaystyle \frac{9}{2}$
      1. $\displaystyle \frac{-11}{3}$
      1. $\displaystyle \frac{13}{5}$
      1. $\displaystyle \frac{-7}{4}$
  2. Utilice la calculadora para encontrar la expansión decimal de los siguientes números racionales y represéntelos en una recta numérica.


      1. $\displaystyle \frac{13}{7}$
      1. $\displaystyle \frac{7}{15}$
      1. $\displaystyle \frac{-65}{21}$
      1. $\displaystyle \frac{-85}{13}$


      1. $\displaystyle \frac{16}{9}$
      1. $\displaystyle \frac{77}{27}$
      1. $\displaystyle \frac{-40}{29}$
      1. $\displaystyle \frac{-134}{141}$


 3. Represente en una recta numérica los siguientes números racionales:

  1. $\displaystyle \frac{5}{2}$
  1. $\displaystyle \frac{7}{3}$
  1. $\displaystyle \frac{-9}{4}$
  1. $\displaystyle \frac{-14}{5}$

4. Para cada uno de los siguientes números racionales, determine su opuesto y represente ambos números en la recta numérica:

    1. $\displaystyle \frac{4}{3}$
    2. $\displaystyle \frac{-13}{5}$
    3. $\displaystyle \frac{1}{4}$
    1. $\displaystyle \frac{-7}{2}$
    2. $8,345$
    3. $-3,\overline{345}$


    En estos dos últimos puntos del cuarto, simplemente es encontrar el opuesto de 
    1. $-3,\overline{345}$   
    2. $8,345$     y localizarlos en la recta numérica. Nótese que son tres unidades con 3 décimas en uno  y 8 unidades  con 3 décimas en otro.



    TALLER Nº 7








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