Taller aplicando algunos casos de productos notables.
Consulta: quién era Blaise Pascal y qué aporte dió a las matemáticas?
TRIÁNGULO DE PASCAL
En matemática, el triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomialesordenados en forma triangular. Es llamado así en honor al matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su Traité du triangle arithmétique. Si bien las propiedades y aplicaciones del triángulo fueron conocidas con anterioridad al tratado de Pascal por matemáticos indios, chinos o persas, fue Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la información de manera conjunta. En el Traité du triangle arithmétique (Tratado del triángulo aritmético) publicado en 1654, Blaise Pascal reúne varios resultados ya conocidos sobre el triángulo, y los emplea para resolver problemas ligados a la teoría de la probabilidad; demuestra 19 de sus propiedades, deducidas en parte de la definición combinatoria de los coeficientes. Algunas de estas propiedades eran ya conocidas y admitidas, pero sin demostración.
TRIANGULO DE PASCAL
EL TRIANGULO DE PASCAL ME PERMITE DESARROLLAR UN BINOMIO A LA POTENCIA DESEADA, EMPLEANDO SUS NÚMEROS COMO LOS COEFICIENTES, Y RECORDANDO QUE EL PRIMER TERMINO DISMINUYE SU POTENCIA Y EL SEGUNDO TERMINO LA AUMENTA
Construcción del triángulo de Pascal
El triángulo de Pascal se construye de la siguiente manera: se comienza en el número «1» centrado en la parte superior; después se escriben una serie de números en las casillas situadas en sentido diagonal descendente, a ambos lados, del siguiente modo: se suman las parejas de cifras situadas horizontalmente (1 + 1), y el resultado (2) se escribe debajo de dichas casillas; el proceso continúa escribiendo en las casillas inferiores la suma de las dos cifras situadas sobre ellas (1 + 2 = 3), etc. De manera general, esto se cumple así debido a la regla de Pascal, que indica que para todo entero positivo n y todo entero positivo k entre 0 y n. En la ilustración, en la última fila, la cifra 4 cuyas casillas situadas sobre ella corresponden a las cifras 1 y 3, se cumple que , para la cifra 6 se cumple y para la última cifra 4 ; de igual manera, se cumple propiedad para las demás filas.
Cada número en el triángulo es la suma de los dos que están situados por encima de el.
TODOS LOS TALLERES DEBEN ESTAR DEBIDAMENTE SOLUCIONADOS CON PROCEDIMIENTOS, Y, LOS CUADERNOS SERÁN ENTREGADOS EL MISMO DÍA QUE SE REALICE EL EXÁMEN DE FINAL DE PERÍODO (QUE TIENE UN VALOR DE 30%)
TODOS LOS ESTUDIANTES DEBEN LLEVAR A CADA CLASE: REGLA, TRANSPORTADOR, COMPÁS, LÁPIZ Y BORRADOR. OBLIGATORIO COMO IMPLEMENTO DE ESTUDIO. LOS ESTUDIANTES QUE AÚN NO HAN PRESENTADO EXÁMEN DE SUSTENTACIÓN DE REFUERZO DEL SEGUNDO PERÍODO, DEBEN HACERLO EN LA SEMANA 30 ( DEL 31 DE AGOSTO AL 30 DE SEPTIEMBRE), EN HORARIO DE CLASE.
TALLERES REALIZADOS DE GEOMETRÍA Y ESTADÍSTICA EN EL PERÍODO TRES GEOMETRÍA: ACTIVIDAD Nº 1 CONSULTA.
1.¿Qué es una figura geométrica?.dar ejemplos gráficos.
2. Qué es un cuerpo geométrico?dar ejemplos gráficos.
3. escribir la historia,, definición y clasificación de los cuerpos geométricos platónicos. dar representación gráfica.
4. Escribir la historia, clasificación de los cuerpos geométricos Arquimedianos dar representación gráfica.
5. Definir, clasificar y dibujar los cuerpos geométricos redondos.
6. Qué es un polígono y cómo se clasifican de acuerdo al número de lados?Grafíquelos.
7.Qué es un ángulo? Cómo se nombran los ángulos?
_________________________________________________________________ ACTIVIDAD Nº 2 CONSULTA Nº 2
1. Cuáles son los elementos de un polígono?Defina cada elemento y haga representación gráfica.
2. ¿cómo se clasifican los ángulos según su abertura?Defínalos y grafíquelos.
3. Cómo se clasifican los ángulos según la suma de sus ángulos?Defina cada uno y haga representación gráfica.
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ACTIVIDAD Nº 3 RESÚMEN
De la fotocopia entregada en clase, definir:
Qué es un triángulo ( graficar ).
Propiedades de los triángulos.
Tipos de triángulos según sus lados y según la medida de sus ángulos( graficar cada uno de ellos).
1. ¿Qué es un polígono cóncavo?--Grafíque y observe el video
2. ¿ Qué es un polígono convexo?---Grafique y vea el video
3. ¿ Qué es un polígono regular?----Grafique y vea el video
4. ¿ Qué es un polígono irregular? ---Grafique y observe el video
1. Escriba 5 ejemplos de estudios estadísticos que podrían realizarse.
2. Dadas las siguientes variables, identifique las variables discretas y las continuas. Explique su respuesta.
a. Número de hijos de una familia
b. Estatura de los profesores de la Institución educativa José celestino Mutis.
c. Cantidad de dinero que puede gastarse una persona en un paseo.
d. Goles que se pueden anotar en un partido.
e. Nota que sacan los estudiantes en determinada materia.
f. Sueldos ganados por los padres de familia de los estudiantes de la Mutis, en un mes.
g. Cantidad de asignaturas que se estudian en el grado octavo.
h. Número de alumnos que asistieron un día a clases.
i. Número de kilómetros que recorre un auto en un día.
j. Número de diagonales que se le pueden trazar a un hexágono.
Ir al blog de matemáticas grado octavo y hacer:
1. Un resúmen completo claro acerca de "la historia de la estadística"
2. Mapa mental que resuma la historia de la estadística.
Hallar la media aritmética, la mediana y la moda de cada uno de los siguientes conjuntos de datos:
1.) 6,6,5,4,3,2,8.
2.) 12, 20, 18, 15, 18, 19.
3.) 5, 10, 14, 30, 12.
4.) 3,2,3,3,5,4.
5.) 20,15,18,40,13,8.
6.) 8,9,6,7,4,5,1,11.
7.) 3,7---3,8---4,0---5,7---6,9---7,0
8.)30, 20, 30, 30, 20, 15, 17, 19, 18.
9.) 6,8,6,11,7,7,5.
10.) 4,4,7,7,7,5,6,9,9,8,10,10,11.
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ACTIVIDAD Nº 4 ESTADÍSTICA
1. Hallar la media aritmética, la mediana( Me ) y la moda ( Mo ) de cada uno de los siguientes grupos de datos:
A) 6,6,5,4,3,2,8 F) 8,9,7,6,4,5,1,1,1
B) 12,20,18,15,18,19 G) 3,7--3,8--4,0--5,7--6,9--7,0
C) 5,10,14,30,12 H) 30,20,30,30,20,15,17,19,18
D) 3,2,3,35,4 I) 6,8,6,11,7,7,5
E) 20,15,18,40,13,8 J) 4,4,7,7,7,5,6,9,9,8,10,10,11
2. Haga una encuesta en su grupo sobre cuál de los equipos de fútbol es el preferido: nacional, Medellín, millonarios, Junior, América, santa Fé.
A) Elabore la tabla de frecuencias.
B) Cuál es la frecuencia absoluta para Nacional?
C) Cuál es la frecuencia absoluta para millonarios?
D) Cuál es el equipo de menor frecuencia?
3. Ordene los siguientes datos: 6,7,6,8,9,10,8,118,12,6,810,11,9,8,7,7,6,6,10,12,11,12,13,13,13,10,9,8,10,11,7,6,8 en una tabla de dos columnas y responda:
a) Cuál es la moda?
b) cuál es el valor de f 1?
c) Cuál es el valor de f 3?
d) Cuál es el valor de f 4?
e) Cuáles son los datos que menos se repiten?
f) Cuánto suman las frecuencias'
4. Los siguientes son los datos de las calificaciones de los alumnos de 8º en matemáticas:
1. Los siguientes son los datos correspondientes a la venta de docenas de jeans vendidos por un almacén durante una semana:
a) Calcule el promedio de docenas vendidas en la semana.
b) calcule el valor de la media de las docenas de jeans.
c) hallar el rango de frecuencia absoluta acumulada, frecuencia relativa y frecuencia relativa acumulada.(tabla anterior)
2. la lista de las edades de algunos profesores de la ciudad de Medellín, es la siguiente:
20,25,32,40,43,31,19,48,56,20, 28,43,40,36,25,28,30,28,45,28,36,42,50,41,28,41
a) Ordenar datos
b) Total de datos
c) Elabore tabla de frecuencias completa ( deben aparecer procedimientos aparte)
d) Cuál es la moda?
e) Halle media aritmética
f) Halle la mediana.
g) Encuentre el rango.
DEBEN ENTREGAR TRABAJOS DE ESTADÍSTICA,
CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES
Es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble de la primera cantidad por la segunda cantidad, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Ejemplo: (a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2 (x + 3)2= x2+ 2 · x ·3 + 32= x2+ 6 x + 9
Ver video
CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES
Es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble producto de la primera cantidad por la segunda cantidad, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Ejemplo: (a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2 (2x − 3)2= (2x)2− 2 · 2x · 3 + 32= 4x2− 12 x + 9
ver video
CUBO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES
es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.
(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3
(x + 3)3= x3+ 3 · x2· 3 + 3 · x· 32 + 33=
= x3+ 9x2+ 27x + 27
CUBO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES
Es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.
Una variable estadística es cada una de las características o cualidades que poseen los individuos de una población.
Tipos de variable estadísticas
Variable cualitativa
Las variables cualitativas se refieren a características o cualidades que no pueden ser medidas con números. Podemos distinguir dos tipos:
Variable cualitativa nominal
Una variable cualitativa nominal presenta modalidades no numéricas que no admiten un criterio de orden.
Ejemplo:
El estado civil, con las siguientes modalidades: soltero, casado, separado, divorciado y viudo.
Variable cualitativa ordinal o variable cuasicuantitativa
Una variable cualitativa ordinal presenta modalidades no numéricas, en las que existe un orden.
Ejemplos:
La nota en un examen: suspenso, aprobado, notable, sobresaliente.
Puesto conseguido en una prueba deportiva: 1º, 2º, 3º, ...
Medallas de una prueba deportiva: oro, plata, bronce.
Variable cuantitativa
Una variable cuantitativa es la que se expresa mediante un número, por tanto se pueden realizar operaciones aritméticas con ella. Podemos distinguir dos tipos:
Variable discreta
Una variable discreta es aquella que toma valores aislados, es decir no admite valores intermedios entre dos valores específicos.
Ejemplo:
El número de hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3.
Variable continua
Una variable continua es aquella que puede tomar valores comprendidos entre dos números.
Ejemplos:
La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75.
En la práctica medimos la altura con dos decimales, pero también se podría dar con tres decimales.
Medidas de tendencia central: Media, Mediana, Moda
El promedio de notas es muy importante.
Las medidas de tendencia central (media, mediana y moda) sirven como puntos de referencia para interpretar las calificaciones que se obtienen en una prueba.
El propósito de las medidas de tendencia central es:
Mostrar en qué lugar se ubica la persona promedio o típica del grupo.
Sirve como un método para comparar o interpretar cualquier puntaje en relación con el puntaje central o típico.
Sirve como un método para comparar el puntaje obtenido por una misma persona en dos diferentes ocasiones.
Sirve como un método para comparar los resultados medios obtenidos por dos o más grupos.
Las medidas de tendencia central más comunes son:
La media aritmética: comúnmente conocida como media o promedio. Se representa por medio de una letra M o por una X con una línea en la parte superior.
La mediana: la cual es el puntaje que se ubica en el centro de una distribución. Se representa como Md.
La moda: que es el puntaje que se presenta con mayor frecuencia en una distribución. Se representa Mo.
La media, el mejor dato.
Cómo calcular, la media, la moda y la mediana
Media aritmética o promedio
Es aquella medida que se obtiene al dividir la suma de todos los valores de una variable por la frecuencia total. En palabras más simples, corresponde a la suma de un conjunto de datos dividida por el número total de dichos datos.
Ejemplo 1:
En matemáticas, un alumno tiene las siguientes notas: 4, 7, 7, 2, 5, 3
n = 6 (número total de datos)
La media aritmética de las notas de esa asignatura es 4,8. Este número representa el promedio.
Ejemplo 2:
Cuando se tienen muchos datos es más conveniente agruparlos en una tabla de frecuencias y luego calcular la media aritmética. El siguiente cuadro con las medidas de 63 varas de pino lo ilustra.
Largo (en m)
Frecuencia absoluta
Largo por Frecuencia absoluta
5
10
5 . 10 = 50
6
15
6 . 15 = 90
7
20
7 . 20 = 140
8
12
8 . 12 = 96
9
6
9 . 6 = 54
Frecuencia total = 63
430
Se debe recordar que la frecuencia absoluta indica cuántas veces se repite cada valor, por lo tanto, la tabla es una manera más corta de anotar los datos (si la frecuencia absoluta es 10, significa que el valor a que corresponde se repite 10 veces).
Moda (Mo)
Es la medida que indica cual dato tiene la mayor frecuencia en un conjunto de datos; o sea, cual se repite más.
Ejemplo 1:
Determinar la moda en el siguiente conjunto de datos que corresponden a las edades de niñas de un Jardín Infantil.
5, 7, 3, 3, 7, 8, 3, 5, 9, 5, 3, 4, 3
La edad que más se repite es 3, por lo tanto, la Moda es 3 (Mo = 3)
Ejemplo 2:
20, 12, 14, 23, 78, 56, 96
En este conjunto de datos no existe ningún valor que se repita, por lo tanto, este conjunto de valores no tiene moda.
Mediana (Me)
Para reconocer la mediana, es necesario tener ordenados los valores sea de mayor a menor o lo contrario. Usted divide el total de casos (N) entre dos, y el valor resultante corresponde al número del caso que representa la mediana de la distribución.
Es el valor central de un conjunto de valores ordenados en forma creciente o decreciente. Dicho en otras palabras, la Mediana corresponde al valor que deja igual número de valores antes y después de él en un conjunto de datos agrupados.
Según el número de valores que se tengan se pueden presentar dos casos:
Si el número de valores es impar, la Mediana corresponderá al valor central de dicho conjunto de datos.
Si el número de valores es par, la Mediana corresponderá al promedio de los dos valores centrales (los valores centrales se suman y se dividen por 2).
Ejemplo 1:
Se tienen los siguientes datos: 5, 4, 8, 10, 9, 1, 2
Al ordenarlos en forma creciente, es decir de menor a mayor, se tiene: 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10
El 5 corresponde a la Med, porque es el valor central en este conjunto de datos impares.
Ejemplo 2:
El siguiente conjunto de datos está ordenado en forma decreciente, de mayor a menor, y corresponde a un conjunto de valores pares, por lo tanto, la Med será el promedio de los valores centrales.
21, 19, 18, 15, 13, 11, 10, 9, 5, 3
Ejemplo 3:
Interpretando el gráfico de barras podemos deducir que:
5 alumnos obtienen puntaje de 62
5 alumnos obtienen puntaje de 67
8 alumnos obtienen puntaje de 72
12 alumnos obtienen puntaje de 77
16 alumnos obtienen puntaje de 82
4 alumnos obtienen puntaje de 87
lo que hace un total de 50 alumnos
Sabemos que la mediana se obtiene haciendo
lo cual significa que la mediana se ubica en la posición intermedia entre los alumnos 25 y 26 (cuyo promedio es 25,5), lo cual vemos en el siguiente cuadro:
puntaje
alumnos
62
1
62
2
62
3
62
4
62
5
67
6
67
7
67
8
67
9
67
10
72
11
72
12
72
13
72
14
72
15
72
16
72
17
72
18
77
19
77
20
77
21
77
22
77
23
77
24
77
25
77
26
77
27
77
28
77
29
77
30
82
31
82
32
82
33
82
34
82
35
82
36
82
37
82
38
82
39
82
40
82
41
82
42
82
43
82
44
82
45
82
46
87
47
87
48
87
49
87
50
El alumno 25 obtuvo puntaje de 77
El alumno 26 obtuvo puntaje de 77
Entonces, como el total de alumnos es par debemos promediar esos puntajes:
La mediana es 77, lo cual significa que 25 alumnos obtuvieron puntaje desde 77 hacia abajo (alumnos 25 hasta el 1 en el cuadro) y 25 alumnos obtuvieron puntaje de 77 hacia arriba (alumnos 26 hasta el 50 en el cuadro).
para todo entero positivo n y todo entero positivo k entre 0 y n. En la ilustración, en la última fila, la cifra 4 cuyas casillas situadas sobre ella corresponden a las cifras 1 y 3, se cumple que 
, para la cifra 6 se cumple 
y para la última cifra 4 
; de igual manera, se cumple propiedad para las demás filas.
o promedio
