SEMANA 25

27 AL 31 DE JULIO

Distribución de frecuencias: muestra el número de veces que ocurre cada observación.

Ejemplo: Se elaboró una encuesta en un jardín de niños y ésta informó que las mascotas más comunes que tiene un niño son perros, gatos, peces, hámsteres y pájaros

perro	gato	perro	hamster
pájaro	hamster	gato	perro
hámster	gato	pájaro	gato
perro	perro	hámster	pájaro
perro	perro	pájaro	gato

A continuación se muestra la distribución de frecuencias absolutas, relativas y porcentuales de las mascotas mas comunes de los niños.

Mascota	Frecuencia absoluta	Frecuencia relativa	Frecuencia acumulada
Perro	7	.35	35 %
Pajaro	4	.20	20 %
Hamster	4	.20	20 %
gato	5	.25	25 %

Estos datos se pueden representar en una gráfica de barras o en una gráfica de pastel:

Gráfica de barras

Gráfica de pastel

NOTA:Para calcular:..

Frecuencia absoluta: se cuenta la cantidad de veces que ocurre el evento, en este caso, las mascotas.

Frecuencia relativa: se divide la frecuencia absoluta de cada evento entre el total de eventos.

Frecuencia porcentual: se multiplica la frecuencia relativa por 100.

DIVISIÓN DE POLINOMIOS.

Resolver la división de polinomios:

P(x) = x⁵ + 2x³ − x − 8         Q(x) = x² − 2x + 1

P(x) :  Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

x⁵ : x² = x³

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x⁴ : x² = 2 x²

Procedemos igual que antes.

5x³ : x² = 5 x

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x² : x² = 8

10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.

x³+2x² +5x+8 es el cociente.

SEMANA 24

JULIO 20 AL 24

JULIO 20----FESTIVO

CONCEPTO DE ESTADÍSTICA.

La estadística es una rama de las matemáticas que conjunta herramientas para recolectar, organizar, presentar y analizar datos numéricos u observacionales. Presenta números que describen una característica de una muestra. Resulta de la manipulación de datos de la muestra según ciertos procedimientos especificados.

Procedimiento:

1. Obtención de datos
2. Clasificación
3. Presentación
4. Interpretación
5. Descripción
6. Generalizaciones
7. Comprobación de hipótesis por su aplicación.
8. Toma de decisiones

Términos comunes.

Población: conjunto de todos los individuos (personas, objetos, animales, etc.) que porten información sobre el fenómeno que se estudia. Por ejemplo, si estudiamos la edad de los habitantes en una ciudad, la población será el total de los habitantes de dicha ciudad.

Muestra: Subconjunto de la población seleccionado de acuerdo con un criterio, y que sea representativo de la población. Por ejemplo, elegir 30 personas por cada colonia de la ciudad para saber sus edades, y este será representativo para la ciudad.

Individuo: cualquier elemento que porte información sobre el fenómeno que se estudia. Así, si estudiamos la altura de los niños de una clase, cada alumno es un individuo; si estudiamos la edad de cada habitante, cada habitante es un individuo.

Variable: Fenómeno que puede tomar diversos valores. Las variables pueden ser de dos tipos:

Variables cualitativas o atributos: no se pueden medir numéricamente (por ejemplo: nacionalidad, color de la piel, sexo).

Variables cuantitativas: tienen valor numérico (edad, precio de un producto, ingresos anuales.

Por su parte, las variables cuantitativas se pueden clasificar en discretas y continuas:

Discretas: sólo pueden tomar valores enteros (1, 2, 8, -4, etc.). Por ejemplo: número de hermanos (puede ser 1, 2, 3....,etc, pero, por ejemplo, nunca podrá ser 3,45).

Continuas: pueden tomar cualquier valor real dentro de un intervalo. Por ejemplo, la velocidad de un vehículo puede ser 80,3 km/h, 94,57 km/h...etc.

DISTRIBUCIÓN DE TABLAS DE FRECUENCIAS

Estadística Descriptiva:

Tienen por objeto fundamental describir y analizar las características de un conjunto de datos, obteniéndose de esa manera conclusiones sobre las características de dicho conjunto y sobre las relaciones existentes con otras poblaciones, a fin de compararlas. No obstante puede no solo referirse a la observación de todos los elementos de una población (observación exhaustiva) sino también a la descripción de los elementos de una muestra (observación parcial).

Distribución de frecuencias: muestra el número de veces que ocurre cada observación.

Ejemplo: Se elaboró una encuesta en un jardín de niños y ésta informó que las mascotas más comunes que tiene un niño son perros, gatos, peces, hámsteres y pájaros

perro	gato	perro	hamster
pájaro	hamster	gato	perro
hámster	gato	pájaro	gato
perro	perro	hámster	pájaro
perro	perro	pájaro	gato

A continuación se muestra la distribución de frecuencias absolutas, relativas y porcentuales de las mascotas mas comunes de los niños.

Mascota	Frecuencia absoluta	Frecuencia relativa	Frecuencia acumulada
Perro	7	.35	35 %
Pajaro	4	.20	20 %
Hamster	4	.20	20 %
gato	5	.25	25 %

Estos datos se pueden representar en una gráfica de barras o en una gráfica de pastel:

Gráfica de barras

Gráfica de pastel

NOTA: Para calcular:..

Frecuencia absoluta: se cuenta la cantidad de veces que ocurre el evento, en este caso, las mascotas.

Frecuencia relativa: se divide la frecuencia absoluta de cada evento entre el total de eventos.

Frecuencia porcentual: se multiplica la frecuencia relativa por 100.

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.

3 · ( 2x³ − 3 x² + 4x − 2) = 6x³ − 9x² + 12x − 6

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

3 x² · (2x³ − 3x² + 4x − 2) = 6x⁵ − 9x⁴ + 12x³ − 6x²

Multiplicación de polinomios

P(x) = 2x² − 3    Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.

P(x) ·  Q(x) = (2x² − 3) · (2x³ − 3x² + 4x) =

= 4x⁵ − 6x⁴ + 8x³ − 6x³ + 9x² − 12x =

Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x⁵ − 6x⁴ + 2x³ + 9x² − 12x

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:

SEMANA 23

13 AL 17 DE JULIO

SUMA DE POLINOMIOS

OPERACIONES CON POLINOMIOS: SUMA  / EJERCICIOS RESUELTOS EJEMPLO 1: (Suma de polinomios de igual grado) A = - 3x2 + 2x4 - 8 - x3  + 1/2 x B = -5x4 - 10 + 3x + 7x3     2x4  -  x3  - 3x2 + 1/2 x  -  8          (el polinomio A ordenado y completo) +    -5x4 + 7x3 + 0x2  +   3x  -  10          (el polinomio B ordenado y completo) ______________________________    -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x  - 18 A + B = -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x  - 18 Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre sí los coeficientes de los términos del mismo grado El resultado de sumar dos términos del mismo grado, es otro término del mismo grado. Si falta algún término de alguno de los grados, se puede completar con 0, como en el ejemplo en el segundo polinomio se completó con 0x2. Y se los suele ordenar de mayor a menor grado, para que en cada columna queden los términos de igual grado. También se los puede sumar de otra forma (sin ponerlos uno sobre otro), y en la EXPLICACIÓN de cada ejercicio lo mostraré resuelto de las dos maneras. EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1  EJEMPLO 2: (Suma de polinomios de distinto grado) A = -3x2 + 5x - 4             (grado 2) B = 4x3 - 5x2 + 2x + 1      (grado 3)     0x3 - 3x2 + 5x - 4          (el polinomio A ordenado y completo) +    4x3  - 5x2 + 2x + 1         (el polinomio B ordenado y completo) ____________________    4x3  - 8x2 + 7x - 3 A + B = 4x3  - 8x2 + 7x - 3 En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros términos con ceros. Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios, para que quede encolumnado término a término con el otro polinomio. EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2

EJEMPLO 3: (Uno de los términos del resultado es cero) A = 9 + 5x3 - 4x2 + x B = 4x2 - 3 - 2x    5x3  - 4x2 + x + 9 +    0x3 + 4x2 - 2x - 3 ____________________    5x3 + 0x2 - x  + 6 A + B = 5x3 - x  + 6 La suma de los términos de grado 2 dió 0x2. Luego, en el resultado final ya no se ponen los términos con coeficiente cero. EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3 EJEMPLO 4: (No hay términos semejantes) A = 4x3 + 5 B = -2x + x2    4x3 + 0x2 + 0x + 5 +    0x3 +  x2 - 2x + 0 ____________________    4x3 +  x2 - 2x + 5 A + B =  4x3 +  x2 - 2x + 5 Se llama términos "semejantes" a los que tienen el mismo grado (en los polinomios con un solo tipo de letra). Entre estos dos polinomios no hay términos semejantes. Se puede observar que el resultado es la suma de todos términos de los dos polinomios, sin modificarse ninguno, ya que a cada uno se le sumó cero, por no tener otro término semejante. EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4 EJEMPLO 5: (Suma de polinomios de varias letras) A = -3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy B = 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y A + B = (-3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy) + (8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y) = -3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy + 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y = -3xy2 - 6x2y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy2  + 4x3y  - 7x2y2 = -9xy2 + 14 + 3xy - 2xy2  + 4x3y - 7x2y2 Cuando los polinomios tienen varias letras, se suman los términos semejantes, que son los que tienen las mismas letras con los mismos exponentes (la misma"parte literal"). Para sumar estos polinomios, no es práctico usar el procedimiento de ordenarlos y sumarlos "en columnas", porque en general hay pocas coincidencias entre sus partes literales. Así que es mejor sumarlos "uno al lado del otro" y "juntar" los términos de igual parte literal. RESTA DE POLINOMIOS

Eliminación de Signos de agrupación


Signos de agrupación

( )	paréntesis
[ ]	Corchetes
{ }	llaves

Estos signos se emplean para indicar que cantidades contenidas en ellas se consideran como una sola cantidad. También indican que las oporaciones que estan dentro de ellas deben efectuarse primero.

Jerarquia de las operaciones

Las operaciones se tienen que resolver en el siguiente orden. Operaciónes dentro de signos de agrupación en el siguiente orden: Paréntesis(), corchetes[] y llaves {}.

Evaluar todos los exponenetes.

Primero resuelve las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.

y despues resuelve las suma y las restas de izquierda a derecha

Ejemplo:

Nota: Recuerda siempre tomar en cuenta la Ley de los signos

3x- (5y+ [-2x+ (y- 6+x) - (-x+y)])=
3x- (5y+ [-2x+ y -6 +x - (-x+y)])	Quitando el primer paréntesis () que estan dentro del []
3x- (5y+ [-2x+ y - 6 + x + x - y])	Quitando el segundo paréntesis () que estan dentro del []
3x- (5y -2x+ y - 6 + x + x - y)	quitando el []
3x - 5y + 2x -y +6 - x - x + y	quitando el () Ahora una reducción de términos semejantes
3x - 5y + 6	Y nos quedó como resultado

Ejemplo :

Nota: Recuerda siempre tomar en cuenta la Ley de los signos

- (3m+n) - [2m+ {-m+ (2m-2n-5) }] - (n+7)=
- 3m - n - [2m + {- m + 2m - 2n - 5}] - n -7	quitando el ()
- 3m - n - [2m - m + 2m - 2n - 5] -n - 7	quitando el { }
- 3m - n - 2m + m - 2m + 2n + 5 -n - 7	quitando el [ ]
- 6m - 2	Y nos quedó como resultado

SEMANA 22

JULIO 6 AL 10

TÉRMINOS SEMEJANTES.

En una expresión algebraica se llaman términos semejantes a todos aquellos términos que tienen igual factor literal, es decir, a aquellos términos que tienen iguales letras (símbolos literales) e iguales exponentes.

Por ejemplo:

6 a²b³ es término semejante con – 2 a²b³ porque ambos tienen el mismo factor literal (a²b³)

1/3 x⁵yz es término semejante con x⁵yz porque ambos tienen el mismo factor literal (x⁵yz)

0,3 a²c no es término semejante con 4 ac² porque los exponentes no son iguales, están al revés.

Reducir términos semejantes significa sumar o restar los coeficientes numéricos en una expresión algebraica, que tengan el mismo factor literal.

Para desarrollar un ejercicio de este tipo, se suman o restan los coeficientes numéricos y se conserva el factor literal.

Recordando cómo se suman los números enteros:

Las reglas de suma se aplican únicamente a dos casos: números de igual signo y números con signo distinto.

Las reglas a memorizar son las siguientes:

a) Números de igual signo: Cuando dos números tienen igual signo se debe sumar y conservar el signo.

      Ejemplo:

       a)  – 3   +   – 8  =   – 11      ( sumo y conservo el signo)

        b) 12   +   25  =   37       ( sumo y conservo el signo)

        Ejemplo:

– 7   +   12   =   5    (tener 12 es lo mismo que tener  +12, por lo tanto, los números son de distinto signo y se deben restar: 12  -  7  =   5

b) Números con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo se debe restar y conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto

 a)5   +   – 51   =   – 46    ( es negativo porque el 51 tiene mayor valor absoluto)

 b) – 14  +   34   =    20

Recordando cómo se resta:

Para restar dos números o más, es necesario realizar dos cambios de signo porque de esta manera la resta se transforma en suma y se aplican las reglas mencionadas anteriormente.

Son dos los cambios de signo que deben hacerse:

a)      Cambiar el signo de la resta en suma

b)      Cambiar el signo del número que está a la derecha del signo de operación por su signo contrario.

Ejemplo:

a)      – 3  –  10    =    – 3    +  – 10  =    – 13   ( signos iguales se suma y conserva el signo)

b)          19   – 16    =      19 +  – 16   =     19   –    16    =    3

Ejemplo 1:

xy³ – 3 x²y + 5 xy³ – 12 x²y + 6                 Hay dos tipos de factores literales: xy³ y x²y

Hay también una constante numérica: 6

Para resolver este ejercicio se suman los coeficientes numéricos de  xy³ con  5xy³  y –3 x²y con –12 x²y.

Hay que tener presente que cuando una expresión no tiene un coeficiente, es decir, un número significa que es 1 (x³y = 1 xy³).

xy³ – 3 x²y + 5 xy³ – 12 x²y + 6  =        6 xy³  +  – 15 x²y + 6     

  

1 + 5 = 6

 – 3 – 12 = – 15

Ejemplo 2:

3ab – 5abc + 8ab + 6abc –10 + 14ab – 20 =  25ab + 1abc – 30

 Operaciones:

  3 + 8 +14 = 25 ab

  – 5 + 6     =  + 1 abc

  – 10 – 20 = – 30

Suma y resta de términos semejantes (reducción)

Regla importante: solamente los términos semejantes se pueden sumar o restar

Términos semejantes son los que tienen exactamente la misma parte literal, es decirlas mismas letras y cada una con los mismos exponentes.

Procedimiento:

1. Se agrupan los términos semejantes
2. Se suman o restan los coeficientes (parte numérica)
3. Luego se escribe la parte literal, anteponiendo el signo resultante.

Ejemplos:

1) 25x + 12x - 31x - 8x +5x = 3x

25 + 12 - 31 - 8 +5 = 3

2) 43mx³ + 7mx³ - 17mx³ - 13mx³ = 20mx³

43 + 7 - 17 - 13 = 20

3) 4x + 2x - 5x + 7x + x = 79x

4 + 2 - 5 + 7 + 1 = 79

Variación: cuando en la expresión no todos los términos son semejantes se suman solo los términos semejantes y se dejan indicado el resto:

Ejemplos:

1) 25x + 12y - 31x - 8y +5x = 4y- x

Para las x: 25 – 31 + 5 = 1 para las y: 12 – 8 = 4

2) 43mx³ + 7mx - 17mx³ - 13mx = 26mx³ - 6mx

Para las mx³: 43 – 17 = 26 para las mx: 7 – 13 = -6

3) 4x + 2ax - 5x + 7ax + x = 25x + 43ax

Para las x: 4 – 5 + 1 = 25 para las ax: 2 + 7 = 43

SUMA DE POLINOMIOS

Dos pasos:

• Pon juntos los términos similares
• Suma los términos similares

Ejemplo: suma     2x² + 6x + 5     y     3x² - 2x - 1

Junta los términos similares: 2x² + 3x²     +     6x - 2x    +     5 - 1

Suma los términos similares: (2+3)x²   +   (6-2)x   +   (3-1) 

= 5x² + 4x + 4

Sumar varios polinomios

Puedes sumar varios polinomios juntos así.

Ejemplo: suma     (2x² + 6y + 3xy)  ,   (3x² - 5xy - x)   y   (6xy + 5)

Ponlos alineados en columnas y suma:

2x² + 6y + 3xy
3x²      - 5xy - x
           6xy     + 5

5x² + 6y + 4xy - x + 5

Usar columnas te ayuda a poner juntos los términos similares en las sumas complicadas.